Tema de clase

                          DIVERGENCIA

La divergencia de F en x es la tasa a la cual cambia el volumen,
por unidad de volumen y se define como sigue:

div F = ∇ · F = ∂F₁ / ∂x + ∂F₂ / ∂y + ∂F₃ / ∂z

la div F es el producto punto de ∇ y F
De acuerdo con lo anterior podemos decir que:

∇ x F es un campo vectorial, mientras que
∇ · F es un campo escalar.

Ejemplo de divergencia:

Calcular la divergencia de F = x²yi + zj + xyzk

Aplicando la definición de divergencia tenemos:

div F = ∂(x²y) / ∂x + ∂(z) / ∂y + ∂(xyz) / ∂x = 2xy + 0 + xy
div F = 3xy

Una relación básica que podemos encontrar entre las operaciones
de divergencia y rotacional, se enuncia en el siguiente teorema:

Para cualquier campo vectorial F de clase C²

div rot F = ∇ · (∇ x F) = 0

Esto es, la divergencia de cualquier rotacional es cero.

Tema de clase

                                 ROTACIONAL

La operación rotacional asocia a cada campo vectorial C¹ F en R³
el campo vectorial rot F definido como sigue:

F = F₁i + F₂j + F₃k = ( F₁, F₂, F₃ )

y hagamos:

rot F=(∂F₃ / ∂y - ∂F₂ / ∂z) i + (∂F₁ / ∂z - ∂F₃ / ∂x)j +(∂F₂ / ∂x - ∂F₁ / ∂y)k

Si rescribimos utilizando la notación de "operador", tenemos:

∇ = i (∂/∂x) + j (∂/∂y) + k (∂/∂z)

Específicamente, ∇f, ∇ operando sobre f, está dado por:

∇f = i ( ∂f/∂x )+ j ( ∂f/∂y )+ k ( ∂f/∂z )

es el gradiente de f.

si vemos ∇ como vector con componentes ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z, entonces
podemos tomar también el producto cruz:

            i      j      k
∇ x F = │ ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z │
             F₁    F₂    F₃

∇ x F =(∂F₃ / ∂y - ∂F₂ / ∂z) i +(∂F₁ / ∂z - ∂F₃ / ∂x)j +(∂F₂ / ∂x - ∂F₁ / ∂y)k

Así: ∇ x F = rot F

Ejemplo:

Sea    F(x, y, z) = xi + xyj + k,    hallar ∇ x F

           i      j      k
∇ x F = │ ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z │ = (0 – 0) i – (0 – 0) j + (y – 0) k
             x    xy    1

∇ x F = yk

Trabajo extraclase

PEDAGOGIA DEL OPRIMIDO

Es un libro cuyo autor es Paulo Freire y consta de 4 capítulos que se
Describen a continuación:

Capítulo I

• La justificación de la pedagogía del oprimido.
• La contradicción opresores − oprimidos, su superación.
• La situación concreta de opresión y los opresores.
• La situación concreta de opresión y los oprimidos.
• Nadie libera a nadie, ni nadie se libera sólo. Los hombres se liberan en
  comunión.

Este libro no se refiere a una pedagogía para el oprimido, por el contario,
el sujeto debe construir su realidad a través de las circunstancias cotidianas.

Otros individuos construyen su realidad y se liberan de la opresión pero se
convierten en el polo opuesto contra lo que luchaban, el individuo que
reflexiona se va formando a sí mismo y crea su conciencia de lucha por
transformar la realidad y liberarse de la opresión.

Freire trata de que el individuo a través del aprendizaje sistemático, además
aprenda a luchar por la superación y la crítica constructiva.

En la propuesta de Freire hay dos momentos distintos de manera progresiva:
En la primera el individuo toma conciencia de la realidad que vive, como ser
oprimido.
La segunda, es la iniciativa de los oprimidos para luchar y liberarse frente a
los opresores.

En las relaciones que se establecen, los oprimidos aparecen como los
generadores de la violencia, sin embargo, ante los ojos de los opresores,
esa lucha se exalta como violencia innecesaria; por otra parte, los opresores
acusan a sus adversarios de ser unos viciosos, desobligados, irresponsables
y culpables de su propia situación.


Capítulo II

• La concepción "bancaria" de la educación como instrumento de
  opresión. Sus supuestos. Su crítica.
• La concepción problematizadora de la educación y la liberación.
  Sus supuestos.
• La concepción "bancaria" de la educación y la contradicción
  educador − educando.
• La concepción problematizadora y la superación de la contradicción
  educador − educando: Nadie educa a nadie – nadie se educa a
  sí mismo −, los hombres se educan entre sí con la mediación del mundo.
• El hombre como ser inconcluso y consciente de su inconclusión y su
  permanente movimiento tras la búsqueda de ser más.

En este capítulo, Freire concibe a la educación actual como si los alumnos
fueran unos recipientes en los cuales se depositan los conocimientos.
Cuando más pasivos sean, proporcionalmente se adaptarán, por lo tanto, se
disminuye su creatividad, estimulan la inocencia, lo cual crea las condiciones
para que los opresores surjan como sujetos generosos.

La educación liberadora en el individuo tiene que ser un acto cognitivo en el
que se comprenda y analice el contenido.
El papel del educador reside en la problematización del mundo próximo al
oprimido, crear las condiciones apropiadas para que el aprendizaje desarrolle
nuevas expectativas, con el fin de alcanzar un carácter auténticamente reflexivo
y descubrir su propia realidad.


Capítulo III

• La dialogicidad: esencia de la educación como práctica de la libertad.
• Dialogicidad y diálogo.
• El diálogo empieza en la búsqueda del contenido programático.
• Las relaciones hombre – mundo "los temas generadores" y el contenido
  programático de la educación.
• La investigación de los temas generadores y su metodología.
• La significación concienciadora de la investigación de los temas
  generadores.
• Los momentos de la investigación.

En este capítulo, Freire dice que la realidad actual que rodea al hombre, no
le permite entenderla y transformarla, porque la educación es simplemente
para adaptarlo.
Es necesario la dialogicidad que se establezca entre el maestro y alumno,
ante esto, se destaca el uso del diálogo como elemento de aprendizaje.

Es importante establecer diálogo con el pueblo, pero ello implica emplear un
lenguaje similar al de las costumbres del individuo.
A través de la educación problematizadora se generar conocimiento,
puesto que en los temas de aprendizaje no es necesario acudir a otros espacios
ajenos para encontrarlos, éstos se encuentran en la realidad que rodea al
individuo.

Por otra parte, los opresores generan situaciones límite que pueden desaparecer
por medio de la educación que el maestro problematizador propicie, partiendo
de la general hacia lo particular.

Cuando se desea investigar el tema generador, debemos acudir hasta el lugar
donde se encuentran los individuos que pretendemos liberar e investigar el
pensamiento de ellos.
Se trata que la enseñanza se dé entre su propia realidad para evitar que sea un
acto mecánico.
La investigación del tema generador implica dos etapas distintas en las que se
involucra el individuo: la primera se refiere a acudir hasta el lugar de los hechos
para conocer cuál es la forma de pensar de los oprimidos, y la segunda, es aplicar
el pensamiento en el aprendizaje sistemático a través de la interacción grupal
entre los mismos individuos.


Capítulo IV

• La antidialogicidad y dialogicidad como matrices de teorías de acción
  cultural antagónicas: la primera sirve a la opresión y la segunda,
  a la liberación:
• La teoría de acción antidialógica y sus características:
  • La conquista
  • La división
  • La manipulación
  • La invasión cultural
• La teoría de acción dialógica y sus características:
  • La colaboración
  • La unión
  • La organización
  • La síntesis cultural

En este último capítulo, Freire menciona que el opresor hace uso de la
antidialogicidad para mantener su status.
Por otra parte, los opresores buscan evitar la unión dialógica; en sus discursos
implícitos advierten lo peligroso que podría ser mantener la "paz social" cuando
a los oprimidos se les habla de los conceptos de unión, organización, entre otros.
Ante sus adversarios aparecen como los únicos que pueden crear la armonía
necesaria para vivir.

Otra característica de la antidialogicidad es la manipulación que a través de la
Ideología, busca conformar a las personas en base a sus objetivos propuestos.
Algunos líderes de izquierda acuden a las masas populares para exponer sus
ideas, sin embargo la mayoría de las veces su lucha se centra en lograr el poder,
cuando se ha logrado este objetivo, entonces se olvidan de las masas quienes
lo apoyaron.

Otra característica de la antidialogicidad es la invasión cultural de que son objeto
los oprimidos, mientras que los opresores son autores y actores del proceso.
Cuando hay la invasión cultural, las relaciones padre − hijo se modifican para
beneficio de los opresores quienes suponen que deben educar al pueblo,
por el contrario éste debe educarse en comunión.

Además de la unión, la acción dialógica requiere de la organización para evitar
el dirigismo ideológico, por el contrario, es un elemento constitutivo de la acción
revolucionaria; para que esta acción se realice debe estar presente la disciplina,
orden, objetivos precisos, tareas que cumplir y cuentas que rendir antes sus
semejantes.

La última característica de la acción dialógica es la síntesis cultural que se da
simultáneamente con la investigación temática, puesto que pretende superar
las acciones opuestas emprendidas por los opresores.

Es así, como Paulo Freire, a través de este libro nos ilustra con este tema tan
profundo que el percibe de la manera antes relatada, y nos permite tener otra
idea acerca de los conceptos que el maneja, en un contexto diferente a lo que
en muchas ocasiones nosotros percibimos.

Notas de clase

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
(Punto de vista de las diferencias finitas)
 
Hacemos una equipartición en un intervalo dado de la siguiente forma:

     ∆x_{1 +} ∆x₂ + … + ∆x_n

Ahora nuestras diferencias finitas son las siguientes:

    ∆x₁ = x₁ – x₀
    ∆x₂ = x₂ – x₁
     .
     .
     .
    ∆x_n = x_n – x_n-1

Posteriormente hacemos la suma de la siguiente forma:
 _n
∑ ∆x_k = (x₁ – x₀) + (x₂ – x₁) + … + (x_n – x_n-1)
^k=1
La suma de todas las diferencias, es la diferencia total

x₁ – x₀ … x_n – x_n-1

∆x = x_n – x_n-1

Para los puntos al principio de cada intervalo aparece un signo menos. Para los puntos al final de cada intervalo tenemos un signo mas, sólo el primero no es final de ninguno y el último no es principio de ninguno.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
_n
∑ ∆x_k = x_n – x_n-1
^k=1

Notas de clase

NOTAS DE CLASE
      
     Gradiente

Se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar.

Esto es:

∇f = ( ∂f ∕ ∂x₁ , … , ∂f ∕ ∂x_n )

Un ejemplo concreto de esto, es el siguiente:

Sea
f : R³ → R, f (x,y,z) = xe^y

Primero encontramos las derivadas parciales de la función con
respecto a "x" y "y"

∂f ∕ ∂x = ∂(xe^y) / ∂x = e^y
∂f ∕ ∂y = ∂(xe^y) / ∂y = xe^y
∂f ∕ ∂z = ∂(xe^y) / ∂z = 0

Posteriormente aplicamos la definición

∇f = (e^y ,xe^y ,0)

Es así como encontramos el gradiente de una función

Otro ejemplo relacionado a este tema, es el siguiente:
¿Tiene f (z) = z² derivada en z=0?

Empezamos de la siguiente manera

f (x + iy) = (x + iy)² = x² + 2ixy – y²
donde: u = x² – y²        v = 2xy

∂u ∕ ∂x = ∂v ∕ ∂y
∂v ∕ ∂x = – ∂u ∕ ∂y
f = x² – y² + 2xy
f_x = ∂ (x² – y² + 2ixy) / ∂x = 2x + 2iy = 2(x + iy)
f_y = ∂ (x² – y² + 2ixy) / ∂y = – 2y + 2ix = 2(– y + ix)
f_x + if_y = 2(x + iy) + 2i(– y + ix)
= 2(x – x + iy – iy) = 0

NOTAS DE CLASE

Resolver con diferencias finitas lo siguiente:
df / dx = f ; f (0) = 1
f (x) es una variable
df / f = dx
    _{lnf                  x
 x} ∫ d ln f = ∫ dx ^l
                          _{ln f}
ln f │ = x
              ⁰
ln f = x
f = e^x

por otra parte

(f_n+1 – f_n) / ε = f_n
f_n+1 = f_n + ε f_n = (1 + ε) f_n
1 + ε > 1 ; f₀ = 1

Si
f_n+1 = (1 + ε) f_n ; f₀ = 1

Encontrar   f_n

De
(f_n+1 – f_n) / ε = f_n ; n > 0

f_n es monótona creciente f_n+1 = r f_n ; r >1
r > 1 + ε ; b = 0

Calculemos algunos valores que toma f para buscar un patrón
n = 0
f₁ = r f₀ = r    ;           ya que f(0) = 1
f₂ = r f₁ = r · r f₀ = r²      ;     recurrencia
·
·
·
 f_n = r ⁿ

ahora por el método de inducción matemática tenemos:
f_n+1 = r f_n

por hipótesis
f _n = r ⁿ
f_n+1 = r ·r ⁿ = r ⁿ⁺¹
f_n+1                    también tiene la propiedad

luego:        f_n = (1 + ε)ⁿ
también:      x= nε   ↔   ε = x / n

de:
f_n = (1 + ε)ⁿ

sustituimos:
f_n = (1 + x/n)ⁿ

luego:
lim f_n = lim (1 + x/n)ⁿ = e^x
 n→∞    ^n→∞