Notas de clase

NOTAS DE CLASE
      
     Gradiente

Se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar.

Esto es:

∇f = ( ∂f ∕ ∂x₁ , … , ∂f ∕ ∂x_n )

Un ejemplo concreto de esto, es el siguiente:

Sea
f : R³ → R, f (x,y,z) = xe^y

Primero encontramos las derivadas parciales de la función con
respecto a "x" y "y"

∂f ∕ ∂x = ∂(xe^y) / ∂x = e^y
∂f ∕ ∂y = ∂(xe^y) / ∂y = xe^y
∂f ∕ ∂z = ∂(xe^y) / ∂z = 0

Posteriormente aplicamos la definición

∇f = (e^y ,xe^y ,0)

Es así como encontramos el gradiente de una función

Otro ejemplo relacionado a este tema, es el siguiente:
¿Tiene f (z) = z² derivada en z=0?

Empezamos de la siguiente manera

f (x + iy) = (x + iy)² = x² + 2ixy – y²
donde: u = x² – y²        v = 2xy

∂u ∕ ∂x = ∂v ∕ ∂y
∂v ∕ ∂x = – ∂u ∕ ∂y
f = x² – y² + 2xy
f_x = ∂ (x² – y² + 2ixy) / ∂x = 2x + 2iy = 2(x + iy)
f_y = ∂ (x² – y² + 2ixy) / ∂y = – 2y + 2ix = 2(– y + ix)
f_x + if_y = 2(x + iy) + 2i(– y + ix)
= 2(x – x + iy – iy) = 0

NOTAS DE CLASE

Resolver con diferencias finitas lo siguiente:
df / dx = f ; f (0) = 1
f (x) es una variable
df / f = dx
    _{lnf                  x
 x} ∫ d ln f = ∫ dx ^l
                          _{ln f}
ln f │ = x
              ⁰
ln f = x
f = e^x

por otra parte

(f_n+1 – f_n) / ε = f_n
f_n+1 = f_n + ε f_n = (1 + ε) f_n
1 + ε > 1 ; f₀ = 1

Si
f_n+1 = (1 + ε) f_n ; f₀ = 1

Encontrar   f_n

De
(f_n+1 – f_n) / ε = f_n ; n > 0

f_n es monótona creciente f_n+1 = r f_n ; r >1
r > 1 + ε ; b = 0

Calculemos algunos valores que toma f para buscar un patrón
n = 0
f₁ = r f₀ = r    ;           ya que f(0) = 1
f₂ = r f₁ = r · r f₀ = r²      ;     recurrencia
·
·
·
 f_n = r ⁿ

ahora por el método de inducción matemática tenemos:
f_n+1 = r f_n

por hipótesis
f _n = r ⁿ
f_n+1 = r ·r ⁿ = r ⁿ⁺¹
f_n+1                    también tiene la propiedad

luego:        f_n = (1 + ε)ⁿ
también:      x= nε   ↔   ε = x / n

de:
f_n = (1 + ε)ⁿ

sustituimos:
f_n = (1 + x/n)ⁿ

luego:
lim f_n = lim (1 + x/n)ⁿ = e^x
 n→∞    ^n→∞