Tema de clase

                                 ROTACIONAL

La operación rotacional asocia a cada campo vectorial C¹ F en R³
el campo vectorial rot F definido como sigue:

F = F₁i + F₂j + F₃k = ( F₁, F₂, F₃ )

y hagamos:

rot F=(∂F₃ / ∂y - ∂F₂ / ∂z) i + (∂F₁ / ∂z - ∂F₃ / ∂x)j +(∂F₂ / ∂x - ∂F₁ / ∂y)k

Si rescribimos utilizando la notación de "operador", tenemos:

∇ = i (∂/∂x) + j (∂/∂y) + k (∂/∂z)

Específicamente, ∇f, ∇ operando sobre f, está dado por:

∇f = i ( ∂f/∂x )+ j ( ∂f/∂y )+ k ( ∂f/∂z )

es el gradiente de f.

si vemos ∇ como vector con componentes ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z, entonces
podemos tomar también el producto cruz:

            i      j      k
∇ x F = │ ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z │
             F₁    F₂    F₃

∇ x F =(∂F₃ / ∂y - ∂F₂ / ∂z) i +(∂F₁ / ∂z - ∂F₃ / ∂x)j +(∂F₂ / ∂x - ∂F₁ / ∂y)k

Así: ∇ x F = rot F

Ejemplo:

Sea    F(x, y, z) = xi + xyj + k,    hallar ∇ x F

           i      j      k
∇ x F = │ ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z │ = (0 – 0) i – (0 – 0) j + (y – 0) k
             x    xy    1

∇ x F = yk